弹塑性力学作业及答案
弹性力学第一次作业
弹塑性力学第二次作业
证明\(\varepsilon_{ijk}\)是三阶张量 \[ \begin{align} &\because\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{ijs}\delta_{sk}=\varepsilon_{ijs}\vec{e_s}\vec{e_k}\\ &\therefore\varepsilon_{i'j'k'}=(e_{i'}\times e_{j'})\cdot\vec{e_{k'}}=(C_{i'i}\vec{e_i}\times C_{j'j}\vec{e_j})\cdot C_{k'k}\vec{e_k}\\ &=C_{i'i}C_{j'j}C_{k'k}\varepsilon_{ijk}\\ &故\varepsilon_{ijk}为三阶张量 \end{align}\\ \]
证明\(\vec{a}\mathcal{A}=\mathcal{A}^T\vec{a}\) \[ \begin{align} \vec{a}\mathcal{A}&=a_k\vec{e_k}A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}\\ &=A_{ij}a_k\delta_{ki}\vec{e_j}\\ &=A_{ij}a_i\vec{a_j}\\ \mathcal{A}\vec{a}&=A_{ji}\vec{e_i}\vec{e_j}a_k\vec{e_k}\\ &=A_{ji}a_k\delta_{jk}\vec{e_i}\\ &=A_{ji}a_j\vec{e_i}\\ 故\vec{a}&\mathcal{A}=\mathcal{A}^T\vec{a}得证 \end{align} \]
若\(\vec{a}\mathcal{A}=\mathcal{A}\vec{a}\),则\(\mathcal{A}\)是什么张量？ \[ \begin{align} \vec{a}\mathcal{A}&=A_{ij}a_i\vec{e_j}\\ \mathcal{A}\vec{a}&=A_{ij}a_j\vec{e_i}=A_{ji}a_i\vec{a_j}\\ \because \vec{a}\mathcal{A}&=\mathcal{A}\vec{a}\\ \therefore A&=A^T,A为对称张量 \end{align} \]
\(\mathcal{A}\times\vec{a}\overset{?}{=}\vec{a}\times\mathcal{A}\) \[ \begin{align} \mathcal{A}\times\vec{a}&=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}\times a_k\vec{e_k}=A_{ij}a_k\varepsilon_{jks}\vec{e_i}\vec{e_s} \\ \vec{a}\times\mathcal{A}&=a_k\vec{e_k}\times A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}=a_k A_{ij}\varepsilon_{kis}\vec{e_s}\vec{e_j}\\ \therefore \mathcal{A}\times\vec{a}&\neq\vec{a}\times\mathcal{A} \end{align} \]
\(如果A^T=-A,则\mathcal{A}\vec{a}=-\varepsilon_{ijk}\omega_k\vec{e_i}\vec{e_j}\cdot a_s\vec{e_s}=-\varepsilon_{ijk}\omega_{k}a_j\vec{e_i}=\vec{w}\times\vec{a}\),证明最后一个等号 \[ \begin{align} \vec{\omega}\times\vec{a}&=\omega_k\vec{e_k}\times a_j\vec{e_j}\\ &=\omega_ka_j\varepsilon_{kjs}\vec{e_s}\\ &=-\varepsilon_{ijk}\omega_{k}a_j\vec{e_s}\\ &得证 \end{align} \]
\[ \begin{align} &1) \vec{a}\cdot\mathcal{A}\cdot\vec{b}=a_i\vec{e_i}\cdot A_{jk}\vec{e_j}\vec{e_k}\cdot b_s\vec{e_s}=a_iA_{jk}b_s(\vec{e_i}\cdot\vec{e_j})(\vec{e_k}\cdot\vec{e_s})=a_iA_{ik}b_k\\ &2) \vec{a}\times\mathcal{A}\times\vec{b}=a_i\vec{e_i}\times A_{jk}\vec{e_j}\vec{e_k}\times b_s\vec{e_s}=a_iA_{jk}b_s\varepsilon_{ijp}\varepsilon_{ksq}\vec{e_p}\vec{e_q}\\ &3) \vec{a}\cdot\mathcal{A}\times\vec{b}=a_i\vec{e_i}\cdot A_{jk}\vec{e_j}\vec{e_k}\times b_s\vec{e_s}=a_iA_{ik}b_s\varepsilon_{ksp}\vec{e_p}\\ &4) \vec{a}\times\mathcal{A}\cdot\vec{b}=a_i\vec{e_i}\times A_{jk}\vec{e_j}\vec{e_k}\cdot b_s\vec{e_s}=a_iA_{jk}b_k\varepsilon_{ijp}\vec{e_p}\\ \end{align} \]
证明\(\mathcal{I}\underset{\times}{\times}\mathcal{A}=J(A)I-A\) \[ \begin{align} \mathcal{I}\underset{\times}{\times}\mathcal{A}&=\vec{e_i}\vec{e_i}\underset{\times}{\times}A_{jk}\vec{e_j}\vec{e_k}\\ &=A_{jk}(\vec{e_i}\times\vec{e_k})(\vec{e_i}\times\vec{e_j})\\ &=A_{jk}\varepsilon_{ikp}\varepsilon_{ijq}\vec{e_q}\vec{e_p}\\ &=(\delta_{kj}\delta_{pq}-\delta_{kq}\delta_{pj})A_{jk}\vec{e_p}\vec{e_q}\\ &=A_{jj}\vec{e_p}\vec{e_p}-A_{pq}\vec{e_p}\vec{e_q}\\ &=J(\mathcal{A})\mathcal{I}-\mathcal{A} \end{align} \]
证明\(\vec{a}\times\mathcal{A}=-(\mathcal{A}^T\times\vec{a})^T\) \[ \begin{align} \vec{a}\times\mathcal{A}&=a_i\vec{e_i}\times A_{jk}\vec{e_j}\vec{e_k}=a_i A_{jk}\varepsilon_{ijs}\vec{e_s}\vec{e_k} \\ -(A^T\times\vec{a})^T&=-(A_{kj}\vec{e_j}\vec{e_k}\times a_i\vec{e_i})^T\\ &=-(a_i A_{kj}\varepsilon_{kis}\vec{e_s}\vec{e_j})^T\\ &=-a_i A_{ks}\varepsilon_{kij}\vec{e_s}\vec{e_j}\\ &=-a_kA_{kj}\varepsilon_{jis}\vec{e_s}\vec{e_k}\\ &=a_iA_{kj}\varepsilon_{ijs}\vec{e_s}\vec{e_j}\\ &得证 \end{align} \]
证明\(\vec{a_i}\vec{a_j}\)是二阶张量 \[ \begin{align} &\vec{a_i}\vec{a_j}=C_{ik}\vec{e_k}C_{js}\vec{e_s}=C_{ik}C_{js}\vec{e_k}\vec{e_s}=C_{ik}C_{js}\delta_{ks}\\ &得证 \end{align} \]
证明\(J(\mathcal{A})=\mathcal{I}\underset{\cdot}{\cdot}\mathcal{A}\) \[ \begin{align} \mathcal{I}\underset{\cdot}{\cdot}\mathcal{A}&=\vec{e_i}\vec{e_i}\underset{\cdot}{\cdot}A_{jk}\vec{e_j}\vec{e_k}\\ &=A_{jk}(\vec{e_i}\cdot\vec{e_k})(\vec{e_i}\cdot\vec{e_j})\\ &=A_{jk}\delta_{ik}\delta_{ij}\\ &=A_{ij}\delta_{ij}\\ &=J(A)\\ &得证 \end{align} \]
证明\(\mathcal{A}^T\underset{\cdot}{\times}\mathcal{B}^T=\mathcal{A}\underset{\times}{\cdot}\mathcal{B}\) \[ \begin{align} \mathcal{A}^T\underset{\cdot}{\times}\mathcal{B}^T&=A_{ji}\vec{e_i}\vec{e_j}\underset{\cdot}{\times}B_{sk}\vec{e_k}\vec{e_s}\\ &=A_{ji}B_{sk}(\vec{e_i}\cdot\vec{e_s})(\vec{e_j}\times\vec{e_k})\\ &=A_{ji}B_{sk}\delta_{is}\varepsilon_{jkp}\vec{e_p}\\ \\ \mathcal{A}\overset{\cdot}{\times}\mathcal{B}&=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}\overset{\cdot}{\times}B_{ks}\vec{e_k}\vec{e_s}\\ &=A_{ij}B_{ks}(\vec{e_i}\times\vec{e_s})(\vec{e_j}\cdot\vec{e_k})\\ &=A_{ij}B_{ks}\varepsilon_{isp}\delta_{jk}\vec{e_p}\\ &=A_{ji}B_{sk}\varepsilon_{jkp}\delta_{is}\vec{e_p}\\ 得证 \end{align} \]