哈工大数值分析考试复习

数值分析考试复习

第一章 非线性方程（组）的数值解法

1、重根牛顿迭代$x_{i+1}=x_i-r\frac{f(x_i)}{f^{\prime }(x_i)}$

2、收敛性，$|{\phi }^{\prime }(x)|\le 1$收敛,$|{\phi }^{\prime }(x)|=0,|{\phi }^{{}^{″}}(x)|\ne 0$二阶收敛

3、牛顿法（逆Broyden）求解方程组（P11，13-14） $$\begin{array}{rl}& \mathrm{一}\mathrm{直}F(x),\mathrm{求}\mathrm{出}A=F^{\prime }(x),\mathrm{每}\mathrm{行}\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{对}\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{未}\mathrm{知}\mathrm{量}\mathrm{求}\mathrm{偏}\mathrm{导}\\ & x_i=x_0-A^{-1}F(x),x\mathrm{为}n\mathrm{行}1\mathrm{列}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\end{array}$$

1. 称序列$\{x_n\}$是p阶收敛，如果$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_{n+1}-x^{\ast }}{x_n-x^{\ast }}=c$

2. 迭代过程$X_{k+1}=\phi (x_k)$收敛的充分条件是$|{\phi }^{\prime }(x)|<1$

3. Newton法可能不收敛（对）

第二章 线性方程组的数值解法

1. Guass消去法，选主元为了舍去误差，A为对称正定阵不用选主元
2. 范数：无穷范数（矩阵行绝对值相加最大值），1范数（矩阵列绝对值相加最大值），2范数（$||A|{|}_2=\sqrt{\rho (A^{H}A)},A^H$为共轭转置，A内全部为实数$A^H=A^T$,$\rho$为取矩阵特征值绝对值的最大值。
3. 条件数 $con{d}_{\mathrm{\infty }}=||A|{|}_{\mathrm{\infty }}||A^{-1}|{|}_{\mathrm{\infty }}$
4. Doolitle(下对角阵对角线为1)、Crout（上对角对角线为1）
5. Jacobi迭代，$B_J=I-D^{-1}A$
6. Gauss-Seidel迭代，$B_G=-(D+L{)}^{-1}U$
7. J或G迭代讨论收敛性，求出B矩阵最大特征值，绝对值<1收敛
8. 共轭梯度法，考会提供公式，熟悉一下公式怎么用就好（P20.12）
9. A为正定矩阵，则cholesky分解唯一

第三章 插值方法和数值逼近

1. Language插值多项式$\sum _{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x)$ $$\begin{array}{rl}& \sum _{j=0}^n{l}_j(x)\equiv 1\\ & \sum _{j=1}^n{x}_j^k{l}_j(x)\equiv x^k\\ & \sum _{j=1}^n(x_j-x{)}^k{l}_j(x)\equiv 0\\ & \sum _{j=1}^n{x}_j^k{l}_j(0)=\{\begin{array}{l}1k=0\\ 0k=1,2,\cdots ,n\\ (-1{)}^n{x}_0{x}_1\cdots x_{n}k=n+1\end{array}\end{array}$$

2. 差商$f[x_0,x_1,\cdots ,x_n]=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}$，$f[0,1]=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}$

3. Language插值余项$\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{P}_{(n+1)}(x)$

4. 最佳平方逼近,离散考的概率远远大于连续，即最小二乘法（P34-35）

5. 给经验函数，带有e，要预处理，两边取ln

6. Hermit插值，n=r $$\begin{array}{rl}& f(x)=\sum _{j=0}^n{h}_j(x)f(x_j)+\sum _{j=0}^n\overline{h_j(x)}{f}^{\prime }(x_j)+\frac{[p_{n+1}{]}^2}{(2n+2)!}{f}^{(2n+2)}(\xi )\\ & h_j(x)=[1-2(x-x_j)l_j^{\prime }(x_j)]l_j^2(x)\\ & \overline{h_j}(x)=(x-x_j)l_j^2(x)\end{array}$$

7. 样条插值的边界，自身及其一阶导数、二阶导数连续，二阶导数端点值为0.

8. 反差商（反差商表P31）

第四章 数值积分

1. 代数精度（代数精度越高的求积公式计算的结果越准确是正确的）求：$f(x)=x^k$带回求积公式，若k阶时，左右结果不同，则代数精度为k-1阶
2. 代数精度为2n-1阶则是高斯求积公式
3. 待定系数法，设$f(x)=1,x,x^2,\cdots$,代入求解系数即可
4. 复化梯形公式$E_n(f)=-\frac{b-a}{12}{h}^2{f}^{\prime \prime }(\eta )$
5. 复化Simpson公式$E_n(f)=-\frac{b-a}{180}\cdot (\frac{h}{2}{)}^4{f}^{(4)}(\eta )$
6. Language插值积分
7. Romberg方法（有时间、精力就看，没有放弃，考的概率相对较小）

第五章 矩阵特征值与特征向量的计算

1. 格尔什戈林(Gerschgorin)圆盘定理$\mathrm{\Omega }=\bigcup _{i=1}^n{C}_i$,其中$C_i:|z-a_{ii}|\le \sum _{j=1,j\ne i}^n{a}_{ij}$
2. 乘幂法$u_0=\frac{v_0}{max{v}_0},v_m=A{u}_{m-1},u_m=\frac{v_m}{max{v}_m},{\lambda }_m=max{v}_m$

第六章常微分方程的初值问题的数值解法

1. (必考)线性多步法

   1. 第一特征多项式$\rho =r^{p+1}-\sum _{i=0}^p{a}_i{r}^{p-i}$
   2. 第二特征多项式$\sigma (r)=\sum _{i=-1}^p{b}_i{r}^{p-i}$(a或b的角标和对应的y或f的角标相加为n)
   3. 特征多项式$\pi (r;h\lambda )=\rho (r)-h\lambda \sigma (r)$,$\bar{h}=h\lambda$
   4. 相容充要条件$\rho (1)=0,{\rho }^{\prime }(1)=\sigma (1)$
   5. 绝对稳定性 $|r_i(\bar{h})|<1$,$r_i(\bar{h})$是稳定多项式$\pi (r;\bar{h})$的根
   6. $r_0(\bar{h})$为$\bar{h}\to 0$使$r_0(\bar{h})$趋于1的根
   7. 收敛则满足根条件（根条件：$\rho (r)$所有根的模均不大于1，且模为1的根为单根）
   8. r阶方法判断$C_q=\frac{1}{q!}\{1-[\sum _{i=0}^p(-i{)}^q{a}_i+q\sum _{i=-1}^p(-i{)}^{q-1}{b}_i]\}$,$C_0=C_1=\cdots =C_r=0,C_{r+1}\ne 0$,(r阶充分条件)
   9. 相容至少为1阶

2. 4阶Rk法 $$\begin{array}{rl}& y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(K_1+2K_2+2K_3+K_4)\\ & K_1=f(x_n,y_n)\\ & K_2=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{K}_1)\\ & K_3=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{K}_2)\\ & K_4=f(x_n+h,y_n+h{K}_3)\end{array}$$

3. 改进Euler方法 $$\begin{array}{rl}& y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_n+h,y_n+hf(x_n,y_n))]\\ & \mathrm{或}\mathrm{者}{y}_p=y_n+hf(x_n,y_n),y_c=y_n+hf(x_{n+1},y_n)\\ & y_{n+1}=\frac{1}{2}(y_p+y_c)\end{array}$$

4. Adams预测、PECE校正大概率不考