弹塑性力学——矢量与张量

第一章 矢量与张量

矢量代数(向量)

矢量的定义

几何定义

客观量

  • 大小 |a|=a
  • 方向、方位

代数定义

三维欧式空间 n维

O,x1,x2,x3,直角坐标基e1e2e3

哑指标(哑标)

a=aiei=i=13aiei

只要下标相同就表示求和

Kronecker记号 δij={1,i=j0,ij(i,j=1,2,3) ab=aieibjbj=aibjeiej=aibjδij=aibi

因为只有i=jδij=1,其余项全为0

也叫换标记号

Levi-Civita记号 ϵijk={1,i,j,k1,i,j,k0,i,j,k

eiej=ϵijkekab=aieibjej=aibjeiej=aibjϵijkek

${ijk}与{ij}之间的联系​

ϵpijϵpks=δikδjsδisδjk

张量代数

张量计算

  1. 和、差 (同阶,同标价) A+B=Aijeiej+Bijeiej=(Aij+Bij)eiej

  2. 转置 AT=(Aijeiej)T=Ajieiej

  3. 对称运算 AT=A

  4. 反对称 AT=A A=[0ω3ω2ω30ω1ω2ω10]

    反偶矢量 赝矢量

ω=ωieiAij=εijkωkωk=12εijkAij

  1. J(A)=Aijeiej=Aijδij=Aii

  2. δij=eiej=CikekCjses=CikCjsekes=CikCjsδks

    εijk三阶张量证明(作业)

张量与矢量运算

A=Aijeieja=akekAeiejAij

Aa=Aijeiejakek=Aijakδjkei=Aijajei

作业: aA=ATaaA=AaA

AT=A,Aa=εijkωkeiejases=εijkωkajei=w×a

  1. 叉积 A×a=Aijeiej×akek=Aijakεjkseiesa×A=)A×a=?a×A

    Aa,b1)aAb2)a×A×b3)aA×b4)a×Ab

    张量间运算

    AB=AijeiejBksekes=AijBksδjkeies=AijBjsA×B=Aijeiej×Bksekes=AijBksεjkpeiepes

    双重运算: A:B=Aijeiej:Bksekes=AijBksδjkδis=AskBks=AijBji

    A×B=Aijeiej×Bksekes=AijBksei×δjkes=AikBks

    重要式子

    单位张量:I=δijeiej A×I=(A32A23)e1+(A13A31)e2+(A21A12)e3

定理1:若A对称A×I=0

定理2: I××A=J(A)IA 作业:证明

A=0I××A=0

证明: 充分性I××A=0J(A)IA=0J[J(A)IA]=0J[J(A)I]J(A)=03J(A)J(A)=0J(A)=0A=0必要性

3. 矢量分析

3.1 Hamilton 算子

=x1e1+x2e2+x3e3=xiei(Einstein)φ=φ=φ,iei

a(P)左点积a=δieiajej=aj,iδij=aj,j=ai,i=a1,1+a2,2+a3,3=a1x1+a2x2+a3x3

Laplace算子2=ieijej=ijδij=ii=jj2φ==ieijejφ=δijφ,ij=φ,ii

矢量场的Gauss公式Ωadτ=\oiintΩands=\oiintΩads

矢量场的Stokes公式S(×a)ds=Sdr

3.4 Helmholtz分解

(×b)=0a,×(×u)=iei×(jej×ukek)=iei×uk,jεjkses=uk,ijεjksεispep=uk,ijεsjkεsipep=uk,ij(δjiδkpδikδkp)ep=ui,ipepup,i,iep=(u)u=(u)2u

分解定理: Ωaφb,a=φ+×b,b=0 证明: uu(x1,x2,x3)=14πa(ζ1ζ2ζ3)ρdζ1dζ2dζ3ρ=(x1ζ2)2+(x2ζ2)2+(x3ζ3)22a=aa=2u=(u)×(×u)φ=ub=×ub=0

4.张量分析

4.1矢量的梯度

左,右,a=ieiajej=aj,ieiej

a=aieijej=ai,jeiej (a1,1a2,1a3,1a1,2a2,2a3,2a1,3a2,3a3,3)(a)T=aJ(a)=a=J(a)

4.2张量的散度和旋度

A=ieiAjkejek=Ajk,iδijek=Aik,iekA=Aijeiejkek=Aij,jeiAT=AA

φI(φI)=ieiφδjkejek=ieiφeiej=φ,iδijej=φ,jej=φ=(φI)×A=iei×Ajkejek=Ajk,iεijpepekA×=Aijeiej×kek=Aij,kεjkpeiep(×A)T=AT×=A×AJ(×A)=J(A×)=?0

4.3 几个等式

1)(Aa)=(A)a+A:(a)2)(A×a)=(A)×a+A×(a)3)×(Aa)=(×A)A×(a)4)×(A×a)=(×A)×aA××(a)i)×(I××A)×=(A)+(A)(A)I2ATii)I××(×A×)=(A)+(A)J(A)2AT

4.4

张量A的Guass公式:ΩAdτ=\oiintΩdsA

ΩAdτ=\oiintΩAds

张量A的Stokes公式:Sds(×A)=SdrA

S(A×)ds=SAdr

$$ A=Aijeiej[Ω(aj)di]ej=[\oiintΩdsaj]ej=\oiintΩds(ajej)=\oiintΩdsA $$