离散数学：函数

函数

函数的定义

Definition

设f是集合A到B的关系，如果对每个$x\in A$,都存在唯一的$y\in B$,使得$<x,y>\in f$,则称关系f是A到B的函数或映射，记为$f:A\to B$.A为函数的定义域，记为$domf=A$;f(A)为函数f的值域，记为ranf.

Definition

所有从A到B的一切函数构成的集合记为$B^A$: $$B^A=\{f|f:A\to B\}$$

函数的类型

Definition

设f是从集合A到B的函数，

• 对于任意$x_1,x_2\in A$，如果$x_1\ne x_2$,都有$f(x_1)\ne f(x_2)$,则称为f为从A到B的单射；
• 如果ranf=B，则称f为A到B的满射；
• 如果f既是单射又是满射，则称f为A到B的双射.

函数的运算

函数的复合

Definition

设$f:A\to B,g:B\to C$是两个函数，则f与g的复合关系$f\circ g=\{<x,z>|x\in A,z\in C,\mathrm{\exists }y\in B，\mathrm{使}\mathrm{得}y=f(x)\mathrm{且}z=g(y)\}$是从A到C的函数，称为函数f与g的复合函数(composition function),记为$f\circ g:A\to C$.

tips:

函数复合的前提是$ranf\subseteq domg$；

$dom(f\circ g)=domf,ran(f\circ g)\subseteq rang$;

对任意$x\in A$,有$f\circ g(x)=g(f(x))$;

$I_A\circ f=f\circ I_B=f$

函数的逆

Definition

设$f:A\to B$是函数，如果$f^{-1}=\{<y,x>|x\in A,y\in B,y=f(x)\}$是B到A的函数，则称$f^{-1}:B\to A$为函数f的逆函数(inverse function).