证明：所有素数开方都是无理数

sqrt{3}是无理数​

反证法

假设$\sqrt{3}$是有理数。

根据有理数定义，存在$m,n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{+}}$,使得$\sqrt{3}=\frac{m}{n},gcd(m,n)=1$

其中m,n互质，即$gcd(m,n)=1$

将上述等式平方得到$3n^2=m^2$

由于3是素数，得到m是3的倍数，即假设$m=3k,k\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{+}}$

代入原先等式，$3n^2=m^2=9k^2$,即$n^2=3k^2$

同样道理，得到n也是3的倍数，与gcd(m,n)=1矛盾。QED

任取素数开平方是无理数

$$\begin{gathered} \mathrm{证}\mathrm{明}\sqrt{x}\mathrm{是}\mathrm{无}\mathrm{理}\mathrm{数}，x\mathrm{为}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{素}\mathrm{数} \\ \mathrm{假}\mathrm{设}\sqrt{x}\mathrm{是}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{数}，\mathrm{存}\mathrm{在}m,n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{+}}\mathrm{使}\mathrm{得}\sqrt{x}=\frac{m}{n},gcd(m,n)=1 \\ \sqrt{x}n=m \\ \Rightarrow x{n}^2=m^2 \\ \Rightarrow m\mathrm{为}x\mathrm{的}\mathrm{倍}\mathrm{数}，\mathrm{令}m=xt \\ \Rightarrow n^2=x{t}^2 \\ \Rightarrow n\mathrm{为}x\mathrm{的}\mathrm{倍}\mathrm{数}，\mathrm{则}\sqrt{x}\mathrm{为}\mathrm{无}\mathrm{理}\mathrm{数} \end{gathered}$$